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斐波那契(Fibonacci)及其兔子

时间:2020-07-12 编辑:


一般人(包括科普作者)提及斐波那契时,都会引述以他的名字命名的数列 $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$ 如何与兔子繁殖相关。不过,他的数学着作内容与名字之来源,恐怕就很少人留意。现在,我们就先澄清这两个问题。

首先,科普作家当然都会提及斐波那契在1202年出版的名着《计算书》(Liber abbci)。然而,这本书一直都被误解为讨论算盘的书籍。这可能是因为它的拉丁文名衔 Liber abbci 直译成英文,就是“Book on Abacus”,从而译成中文,就成了不折不扣的「算盘书」了。

不过,由于“abacus” 的前身“abaci” 在十三世纪拉丁世界「很弔诡地」是指不利用算盘的一种计算方法,因此,史家西格勒(L. E. Sigler) 建议本书的书名,应该译成「计算书」(Book of Calculation) 才是。有关这一史实,我们不妨注意当时的“maestro d’abbaco” 一词,是指直接利用印度- 阿拉伯数码,而非算盘来从事计算的师傅。同时,在十三世纪之后的义大利各个商港城邦内,“school of abaco” 也就是由前述师傅传授这种计算技艺的专门学校。

事实上,在西欧数学史上,《计算书》率先介绍印度- 阿拉伯数码及其(运用笔算的)演算法则(algorithm),其中根本看不到算盘之类的计算器。我们不妨求证于本书第一章开宗明义的头两句话:「九个印度数字为:$$9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$$。就像下文将要演示的,任意数目,都可以利用这些以及(阿拉伯人称作“zephir” 的记号)$$0$$ 写出来。」

还有,只要细按本书内容,即可得知它是一部有关十三世纪算术、代数与解题的百科全书。它在十三世纪西欧数学史上的意义,当然远远地超过所谓「斐波那契数列」(Fibonacci sequence) 之盛名。后者在数学普及书籍中的广为传颂,虽然让斐波那契声名大噪,但是,相形之下,十三世纪的西欧数学面貌,却始终藏在长夜漫漫的中世纪世界之中,无法现身提醒我们它与近代(十六、七世纪)西方数学的连结。

另一方面,斐波那契(Fibonacci) 一直都不是「斐波那契」,他在1170年生于比萨,在他的着作《花朵》(Flos, 1225) 中,他称他自己为 Leonardo Pisano Bigollo。没有任何直接证据显示他的正式名称与「斐波那契」有关。以「斐波那契」代替 Leonardo Pisano 似乎是1838年由数学史家 Guillaume Libri 开始,此后便约定俗成,沿用至今。事实上,如果你在当时要寻找斐波那契这个数学家,必定是徒劳无功的。

世人对斐波那契所知非常有限,在献给中世纪学者史高特(Michael Scott) 的《计算书》的开头里,斐波那契给了我们一段简短的自传:「在我父亲被祖国比萨派任到布吉亚(Bugia)的海关,为常常到那里的比萨商人办事时,我跟随他到了那儿。父亲要我学习印度-阿拉伯数码和演算。我非常沉迷于学习,以致于后来当我商务旅行至埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地时,我仍持续地研读数学,并参与当地学者的讨论和争辩。回到比萨后,我以十五章的篇幅组成了此书。这本书里包含了印度、阿拉伯和希腊的方法中我所认为最好的。我也放进了证明,让读者和义大利人民有更进一步的了解。如果偶而我或多或少疏忽了任何适当或必要的事情,我恳求您的宽恕。因为没有人能无过,并在所有事物上都考虑周详。」

在这本着名的《计算书》中,斐波那契使用了一般的字母代替未知数,例如res代替未知数,census代替平方。虽然他并没有用现代的符号,来对方程式进行运算,但依循着作品中的字句描述,我们可以直接转换成现代的方程式,这让人不禁对斐波那契在处理代数运算时,所使用的心理视觉基模感到惊讶。

同样的,这种写作方式,也出现于另一本较少人知的着作《平方数之书》(Liber quadratorum, The Book of Squares)。在本书所含的24个命题中,斐波那契对不定方程式的兴趣于《平方数之书》中展露无遗。斐波那契在1225年完成本书,并呈献给神圣罗马帝国皇帝—菲特烈二世(Frederick II, 1194-1250)。史家认为这是斐波那契最高深的一本书,也足以代表斐波那契身为一位数学家的最伟大的成就。但是,之后《平方数之书》就失传了,人们只能从佩西欧里(Luca Pacioli) 的《算术大全》(Summa, 1494) 中看到书中的片段。一直到19世纪中叶,史家才在米兰的图书馆发现《平方数之书》的手抄本。

在《平方数之书》的序曲中,斐波那契首先说明了他写这本书的缘由。当他回到比萨之后,遇到了宫廷哲学家约翰(John of Palermo),此人向他提了一个问题,也就是本书命题17:「找一个平方数,使其加 $$5$$ 或减 $$5$$ 都为平方数。」斐波那契找出问题的答案后,经过整理与反思,他发现解的本身以及很多其他的问题,都可由平方数或与平方数有关的数产生。

后来,当他听到宫廷那儿有消息传来,提及菲特烈二世对他的着作感到兴趣(似为《计算书》),曾加以阅读并和学者讨论。斐波那契马上想起了前面的问题,并立刻着手写成了《平方数之书》献给菲特烈二世。这位帝王以好学着称,他相当热衷学术活动也予以大力赞助,所以,在他的宫廷里总是包围着一大群饱学之士。无怪乎斐波那契为何急于要献书给这位皇帝了。

从HPM(数学史与数学教学之关连)上来考量,由于《平方数之书》里面的命题有些有前后的关连,有些过于艰深富技巧,因此,若教师想运用此文本于课堂教学,必须做些筛选。譬如命题12:「若两数互质其和为偶数,如果把两数及其和三者的乘积再乘上大数减小数的值,所得到的数将是 $$24$$ 的倍数」,笔者认为难度适中,就是个教学上不错的选择,谨供各位读者参考。


参考书目

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